Модель Изинга

Лекция №6

Модель Изинга


До сего времени наше рассмотрение основывалось, практически, на уравнениях состояния, которые сами по для себя имели чисто эмпирический нрав. Появляется вопрос, как их можно доказать. Неувязка обоснования того либо Модель Изинга другого уравнения состояния – это неувязка статистической физики. Забегая вперед, следует сказать, что задачка обоснования уравнения состояния до сего времени очень далека от собственного окончательного решения. Целью истинной лекции является проиллюстрировать статистический подход на Модель Изинга примере простейшей системы – уже упоминавшейся в первой лекции модели Изинга. Специфичностью этой модели будет то, что невзирая на свою простоту, она не только лишь ухватывает сам факт фазового перехода, да и способна Модель Изинга обрисовать все главные особенности поведения измеряемых величин в критичной области. ^ Повторим то, что было сказано про модель Изинга в первой лекции
Модель Изинга представляет собой несжимаемую решетку, в каждом узле которой находится магнитные Модель Изинга стрелки. Эти стрелки могут быть ориентированы либо ввысь, либо вниз. Примыкающие стрелки ведут взаимодействие таким методом что силы, действующие меж этими стрелками, стремятся расположить их параллельно друг дружке. Энергия взаимодействия таковой Модель Изинга системы стрелок может быть записана в виде


.

Тут число узлов решетки, наружное магнитное поле (тоже имеет только два направления: или ввысь, или вниз.






Из статистической физики имеем для свободной энергии



В общем случае Модель Изинга вычисление стоящей под знаком логарифма суммы по всем вероятным конфигурациям стрелок эадача совсем неосуществимая. Следует сказать, что модель Изинга никак не сводится только к модели магнитной системы, а лежит в основании Модель Изинга самых базовых и принципиальных задач теоретической физики. Потому в последние десятилетия были потрачены большие усилия для сотворения теоретических способов вычисления этой суммы. В определенном смысле развилась особая ветвь теоретической физики – физика сеточных систем. Но Модель Изинга, четкого решения задачки так и не получено. Все же есть более либо наименее сложные приближенные способы решения этой задач. Мы остановимся на самом ординарном из этих приближенных способов.

Давайте перепишем Модель Изинга произведение в виде





Наши преобразования, очевидно, являются тождественными. Мы всего только добавили и вычли некую величину , про которую пока вообщем ничего не знаем. Потом мы будем интерпретировать данную величину как среднее значение намагниченности, что позволит Модель Изинга нам написать уравнение для определения этой величины.

1-ый член в правой стороне выписанного выше тождества обрисовывает взаимодействие меж магнитными стрелками в узлах и . 2-ой член обрисовывает воздействие поля, создаваемого средней намагниченностью на Модель Изинга магнитные стрелки в узлах и . Сейчас можно сконструировать наше основное приближение.

Мы предполагаем, что член мал и будем в предстоящем им третировать.

Это приближение принципно. Оно значит, что спин ведет взаимодействие только Модель Изинга с полем, создаваемым средней намагниченностью, но не ведет взаимодействие с примыкающим спином . Выражение для энергии системы сейчас может быть переписано в виде



Принципным моментом является отсутствие в выражении для энергии Модель Изинга члена с произведением спинов в разных узлах решетки. Следующие приближения уже не носят принципного нрава, но, несколько упрощают расчеты. Представим, а именно, что ведут взаимодействие только спины, находящиеся в ближайших узлах рассматриваемой решетки.

Другими Модель Изинга словами представим, что




Энергия данной конфигурации стрелок при всем этом равна




Тут z – число ближайших соседей в рассматриваемой решетке. Сейчас просто вычислить свободную энергию системы

.




Принимая во внимание, что переменная , т.е может иметь Модель Изинга только два значения, и проводя суммирование по этим двум значениям в каждом узле решетки, получим





Давайте вспомним сейчас, что величина до сего времени не определена. Выберем таким макаром, чтоб свободная энергия при Модель Изинга избранном имела минимум. Т.е. наложим дополнительное условие


.

Решение этого уравнения может быть записано в форме.

(*)

Это уравнение совсем фнфлогично уравнению состояния ван-дер-Ваальса. А именно, просто созидать, что при малых Модель Изинга это уравнение на сто процентов совпадает с разложением, получаемым из уравнения ван-дер-Ваальса и оба они совпадают с разложением Ландау. Вправду, для малых имеем




откуда уравнение состояния воспринимает вид


,


что дословно Модель Изинга совпадает с подходящим уравнением теории Ландау.

Разглядим личный случай нулевого магнитного поля . Для больших температур и уравнение





имеет единственный корень . Для низких температур и, вместе с корнем , возникают еще два корня





Другими словами, критичная температура Модель Изинга этой в системе магнитных стрелок в рассмотренном приближении оказывается равной . При всем этом разумеется, что магнитное поле в этом случае является упорядочивающим поле. (Вправду, при решение отсутствует при сколь угодно Модель Изинга больших температурах. А это значит, что и фазовый переход в данном случае отсутствует


Решеточный газ. Общий случай.

Ранее уже отмечалось, что модель Изинга обрисовывает не только лишь магнитные системы, является значительно Модель Изинга более общей моделью. Вправду, в более общем виде модель Изинга может быть сформулирована последующим образом: есть набор схожих ячеек, любая из которых может находиться исключительно в 2-ух состояниях.

Обозначим эти состояния как и Модель Изинга . Введем переменную , такую, что





Энергия таковой системы может быть записана в виде





Мы ввели константы взаимодействия меж ячейками и . Для магнитной системы, рассмотренной выше, состояние соответствует стрелке, направленной ввысь, состояние - стрелке, направленной Модель Изинга вниз, а для энергий взаимодействия ячеек имеют место соотношения . В общем случае эти константы различны. Не считая того сушествуют две способности: есть либо нет закон сохранения числа ячеек в состояниях А и В. Для магнитной Модель Изинга системы таковой закон сохранения отсутствует. Но могут быть и другие ситуации. Разглядим две из их. 1-ая – это, так именуемая, модель решеточного газа. Вновь разглядим несжимаемую решетку, но каждый узел сейчас или Модель Изинга занят частичкой (состояние А), или пустой (состояние В). - энергия взаимодействия меж частичками. Разумеется, что . Число частиц () равно



Просто отыскать среднюю плотность системы


.


Разные конфигурации переменной соответствуют различному числу частиц в системе и Модель Изинга, соответственно, различной плотности. Для описания таковой системы нужно использовать большой термодинамический потенциал . Из статистической физики имеем





где хим потенциал.. Вычислим выражение, стоящее в показателе входящей под символ суммы экспоненты.





где число ближайших соседей Модель Изинга в рассматриваемой решетке и несущественная константа.

Из сопоставления экспонент для решеточного газа и магнитной системы разумеется, что эти системы эквивалентны.

В таблице приведены изоморфные друг дружке физические характеристики магнитной системы и Модель Изинга решеточного газа.






Магнитные

системы

Решеточный газ

Энергия





Критичная

температура





Упорядочивающее

поле





Намагниченность





Уравнение

состояния






Для варианта

и мы имеем . Просто отыскать плотность газа в данном случае.

.


Это критичная плотность.

Для варианта имеем два значения переменной





Эти два значения Модель Изинга переменной соответствуют двум разным плотностям сосуществующих фаз (воды и газа)




model-normirovaniya-vneurochnoj-deyatelnosti-pedagogicheskogo-rabotnika-obsheobrazovatelnogo-uchrezhdeniya-pereshedshego-na-nsot.html
model-obrazovatelnogo-processa-s-ispolzovaniem-raznoobraznih-form-i-s-uchetom-vremeni-goda-i-vozrastnih-psihofiziologicheskih-vozmozhnostej-detej-vzaimosvyazi-p-stranica-3.html
model-obrazovatelnogo-processa-s-ispolzovaniem-raznoobraznih-form-i-s-uchetom-vremeni-goda-i-vozrastnih-psihofiziologicheskih-vozmozhnostej-detej-vzaimosvyazi-p-stranica-8.html