Модель задачи из теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания – раздел прикладной арифметики, который изучает характеристики систем массового обслуживания (СМО) с целью увеличения эффективности их работы.

Система массового обслуживания – это совокупа взаимосвязанных объектов (устройств), созданная для обслуживания заявок (требований), поступающих в систему в случайные моменты времени. При всем этом не только лишь моменты поступления заявок в систему Модель задачи из теории массового обслуживания, да и продолжительность обслуживания каждой заявки представляют собой случайные величины.

Более всераспространенными примерами таких систем являются билетные кассы, системы связи, АЗС, сервисные центры, ремонтные мастерские, аудиторские конторы, телефонные станции, банки, службы скорой помощи и такси, компьютерные сети и т. д.

Условно СМО можно изобразить в виде последующей схемы.

Входящий поток Модель задачи из теории массового обслуживания – это поток требований, поступающих в систему, а выходящий поток – покидающих систему.

Входящий поток именуют простым, если производятся последующие три характеристики:

– в каждый момент времени в систему не может поступить более одной заявки,

– возможность числа заявок, поступающих за данный просвет времени, зависит только от длины этого промежутка и не находится в Модель задачи из теории массового обслуживания зависимости от места его расположения на оси времени,

– возможность числа заявок, поступающих в систему за данный просвет времени, не находится в зависимости от числа заявок поступивших в нее в прошлые промежутки времени.

Состоянием СМО на этот момент именуют общее число требований (заявок), находящихся в системе в этот Модель задачи из теории массового обслуживания момент. Тогда система может иметь последующие состояния:

– – в системе нет заявок,

– – в системе 1 заявка,

– – в системе 2 заявки, и т. д.

Таким макаром, знак обозначает событие, состоящее в том, что в системе в момент есть заявок. Пусть – возможность того, что в момент система находится в состоянии .

Про систему молвят, что она Модель задачи из теории массового обслуживания работает в стационарном режиме, если возможность ее пребывания в состоянии есть величина, зависящая только от числа и не зависящая от момента рассмотрения функционирования системы и продолжительности нахождения системы в состоянии .

Разглядим систему, которая работает в стационарном режиме, имеет простой поток со средней интенсивностью, равной (интенсивность потока – это среднее число Модель задачи из теории массового обслуживания заявок, поступающих в систему в единицу времени). Пусть в системе имеется один прибор, который в единицу времени в среднем обслуживает заявок ( –средняя производительность прибора).

Если нет никаких дополнительных ограничений на длину очереди (либо количество заявок в системе), то система именуется системой без утрат (без ограничений) и в ней может находиться Модель задачи из теории массового обслуживания хоть какое число заявок. Оказывается, что для таковой системы имеют место последующие формулы: , (6)

и . (7)

Поясним, как выходит значение для . Так как СМО является системой без ограничений, то случайная величина воспринимает нескончаемо много значений, и как следует, имеется нескончаемо много значений вероятностей , сумма которых равна 1: . В силу формулы для вычисления Модель задачи из теории массового обслуживания , будем иметь

.

Отсюда , и потому что сумма является суммой нескончаемо убывающей геометрической прогрессии с первым членом и таким же знаменателем, то находится из уравнения , и .

Отношение обозначают эмблемой и именуют коэффициентом использования системы. С введением этого коэффициента, вероятности и можно вычислять по формулам ; .

Используя обозначенные формулы, просто составить закон рассредотачивания Модель задачи из теории массового обслуживания случайной величины и отыскать главные свойства системы.

Разглядим определенную задачку.

Задачка 22. Пусть СМО работает в стационарном режиме, имеет один прибор со средней производительностью , при всем этом поток заявок, поступающих на сервис, считается пуассоновским, а его средняя интенсивность заявкам за минуту. Требуется найти:

а) возможность того, что Модель задачи из теории массового обслуживания в очереди будет более 2-ух заявок. б) возможность того, что в очереди ровно заявок;

в) возможность того, что заявке не придется ожидать собственного обслуживания.

Решение. а)В очереди больше 2-ух заявок тогда, когда в системе больше 3-х заявок (в данном случае меньшее число заявок в системе появляется из 2-ух заявок в очереди Модель задачи из теории массового обслуживания и одной заявки на приборе). Как следует, разыскиваемая возможность равна суме вероятностей вероятных состояний системы, начиная с : .

Потому что для функционирования (без “затоваривания”) системы нужно условие , то сумма является суммой нескончаемо убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Тогда , и потому что , то .

б)В очередировно Модель задачи из теории массового обслуживания заявок тогда, когда в системе находятся заявка. Возможность такового действия .

в) Заявке не придется ожидать в этом случае, когда система пуста – в ней нет ни одной заявки. Как следует, ответом является возможность : .

23.Пусть система работает в режиме задачки 22, при этом . Найдите возможность того, что а) в очереди будет менее 2-ух Модель задачи из теории массового обслуживания заявок; в) в очереди будет ровно 3 заявки; с) заявке не придется ожидать.

Разглядим сейчас СМО, которая работает в том же режиме, что и в прошлых задачках, но с ограничениями (с потерями). Пусть число заявок в очереди не может быть более 2-ух. Это значит, что в системе не Модель задачи из теории массового обслуживания может находиться более 3-х заявок, и любая 4-ая заявка, приходящая в систему, получает отказ (пропадает). В данном случае для вычисления вероятностей событий при также применяется формула (6), но возможность находится по другому. В данном случае , и как следует, , где –сумма 4 членов геометрической прогрессии, у которой 1-ый член равен 1, а знаменатель .

Задачка Модель задачи из теории массового обслуживания 24. Пусть СМО работает в стационарном режиме, имеет один прибор со средней производительностью , при всем этом поток заявок, поступающих на сервис, считается пуассоновским, и его средняя интенсивность заявкам за минуту. Также подразумевается, что очередь на сервис не может превосходить 2-ух заявок. Требуется найти:

а) возможность того, что приходящая заявка получит отказ Модель задачи из теории массового обслуживания;

б) среднее число заявок в очереди;

в) среднее время ожидания.

Решение. Потому что в очереди не может быть более 2-ух заявок, то самое большее число заявок в системе – 3 (это число равно числу устройств + наибольшее число заявок в очереди). Согласно основному свойству стационарного режима работы СМО,

, и

.

Отсюда найдем, что . Сейчас можно Модель задачи из теории массового обслуживания составить закон рассредотачивания случайной величины :

а) Приходящая заявка получит отказ, если в системе 3 заявки, другими словами если прибор занят и 2 заявки в очереди. Таким макаром, возможность этого действия равна .

б) Среднее число заявок в очереди равно математическому ожиданию случайной величины: .

в) Среднее время пребывания заявки в системе Модель задачи из теории массового обслуживания рассчитывается по формуле Литтла: . В нашей задачке (мин.).


modeli-i-tipi-konkurentnih-situacij-simmetrichnie-i-asimmetrichnie-konkurentnie-situacii-statya.html
modeli-interpretacii-processa-nauchnogo-poznaniya-empirizm-teoretizm-problematizm.html
modeli-komandoobrazovaniya-obshaya-harakteristika.html